# Analytische Geometrie by Gerd Fischer (auth.)

By Gerd Fischer (auth.)

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Example text

Aus e > 1 folgt, daß es auch links von der Leitlinie L Punkte gibt, die der Abstandsbedingung genügen. Die Hyperbel ist also eine unzusammenhängende Kurve mit zwei "Ästen". Weiterhin nähert sich die Hyperbel rur großes lxi an die Geraden y == b ä x und y == - b äx beliebig nahe an. Jx2 - a2 explizit macht. Daher nennt man die beiden Geraden A und Ar Asymptoten. Übungsaufgabe 5. 42 skizzierte Reflexionseigenschaft der Hyperbel. 42 46 1. Affine Geometrie D Ebene Schnitte eines Kreiskegels Wie wir gesehen haben, bestehen zwischen Ellipse, Parabel und Hyperbel viele Gemeinsamkeiten.

Etwas allgemeinere Abstandsbedingungen ftihren zu den Kegelschnitten, die schon vor über zweitausend Jahren von Euklid und Appolonius systematisch untersucht wurden. 46). Bis vor einigen Jahren gehörten die Kegelschnitte zu den obligaten Gegenständen des Schulunterrichtes, aber seither sind sie von "moderneren" Dingen verdrängt worden. Um mit dazu beizutragen, daß sie nicht ganz in Vergessenheit geraten, wollen wir hier die systematische Darstellung der analytischen Geometrie fur ein paar Seiten unterbrechen und einen Ausflug in die gute alte Zeit unternehmen.

Im nächsten Schritt kann man die linearen Terme reduzieren. Man schreibt (1') in der Form (quadratische Ergänzung) (ZI + 64)2 + 388 Z2 - 129 - 64 2 = O. 4. Quadriken Nach der Transformation Wl = Zl + 64, also Zl = Wl -64 (2) erhält man die Gleichung wf (2') + 338 W2 -4225 = O. Setzt man schließlich also WI = YI 1 (3) W2 = 169 Y2 + 12,5, so wird Q beschrieben durch die Gleichung Yt + 2Y2 = o. (3') Die insgesamt nötige Transformation erhält man durch Komposition von (1), (2) und (3), also 3 und Xl = Yl + 169 Y2 - 26,5 Y2 = 169x2 - 2112,5 1 X2 = 169 Y2 + 12,5.